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ANÁLISIS MATEMÁTICO 72 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ2
Final A
Ejercicio 1:

El $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+1}{x+2} \right)^x$ es igual a:

$\circ   e^{-2}$
$\circ   e^{-1}$
$\circ   e^1$
$\circ   e^2$

Ejercicio 2:

La recta $y=2$ es asíntota horizontal de $f(x) = \frac{ax+3}{2x+1}$ si

$\circ   a = \frac{1}{2}$
$\circ   a = 2$
$\circ   a = 4$
$\circ   a = -\frac{1}{2}$

Ejercicio 3:

El dominio de $f(x) = \sqrt{\frac{x+2}{x-2}}$ es

$\circ   [0, +\infty)$
$\circ   (-2, 2]$
$\circ   [2, +\infty)$
$\circ   (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

Ejercicio 4:

Si $A={x \in \Re  /  |x-1| < 2}$, entonces

$\circ   sup(A) = 3,   inf(A) = 0$
$\circ   sup(A) = 3,   inf(A) = -3$
$\circ   sup(A) = 3,   inf(A) = -1$
$\circ   sup(A) = 2,   inf(A) = -2$

Ejercicio 5:

La función inversa de $f(x) = 2x+4$ es $f^{-1}(x)=$

$\circ   \frac{1}{2x+4}$ 
$\circ   \frac{x}{2}-4$ 
$\circ   \frac{x+4}{2}$ 
$\circ   2x+4$ 

Ejercicio 6:

La ecuación de la recta tangente al gráfico de $f(x)=\ln(3x-2)+x+1$ en $x_0=1$ es 

$\circ$   $y=5x-3$
$\circ$   $y=2x+2$
$\circ$   $y=2x$
$\circ$   $y=4x-2$

Ejercicio 7:

Si el ingreso está dado por $R(x) = \frac{200x}{2x+10}$, el ingreso marginal correspondiente a 5 unidades vale:
$\circ   5$
$\circ   50$
$\circ   2000$
$\circ   100$

Ejercicio 8:

La derivada de $f(x)$ es $f'(x) = x^2 - x - 2$. Un intervalo en el que $f(x)$ es creciente es:

$\circ   (-1, 2)$
$\circ   (-1, +\infty)$
$\circ   (-\infty, -1)$
$\circ   (-\infty, -2)$

Ejercicio 9:

La función $f(x) = x e^{-2x}$ tiene un:

$\circ$  máximo en $x = \frac{1}{2}$
$\circ$  mínimo en $x = \frac{1}{2}$
$\circ$  mínimo en $x = -1$
$\circ$  máximo en $x = -1$

Ejercicio 10:

La función $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} \frac{x^2-1}{x-1} & \text{si } x > 1 \\ 5x + a & \text{si } x \leq 1 \end{array}\right.$  es continua en $x_0 = 1$ si 

$\circ   a=-5$
$\circ   a=-3$
$\circ   a=2$
$\circ   a=5$

Ejercicio 11:

Una primitiva de la función $f(x) = \sqrt{4x+2}$ es $g(x) =$

$\circ$  $\frac{1}{6}(4x+2)^{\frac{3}{2}}$
$\circ$  $\frac{8}{3}(4x+2)^{\frac{3}{2}}$
$\circ$  $(4x+2)^{\frac{3}{2}}$
$\circ$  $2(4x+2)^{-\frac{1}{2}}$

Ejercicio 12:

Si el costo marginal es $C'(x) = 6x^2 + 2x + 5$ y el costo de producir 2 unidades es de 40 pesos, la función costo $C(x)$ es igual a:

$\circ$  $6x^2 + 2x + 12$
$\circ$  $x^3 + x^2 + 5x + 40$
$\circ$  $2x^3 + x^2 + 5x + 10$
$\circ$  $12x + 16$

Ejercicio 13:

El $\lim_{x \to 1} \left( \frac{\ln(2x-1)}{x^2-1} \right)^x$ es igual a:

$\circ   \frac{2}{3}$
$\circ   \frac{3}{2}$
$\circ   -1$
$\circ   2$

Ejercicio 14:

La suma de la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{3^{n-1}}$ es igual a:

$\circ$   $9$
$\circ$   $3$
$\circ$   $4$
$\circ$   $6$

Ejercicio 15:

Si $a_n$ es una progresión geométrica tal que $a_2 = 10$ y $a_5 = \frac{2}{25}$, entonces $a_1 \cdot a_4$ es igual a

$\circ   \frac{2}{5}$
$\circ   \frac{1}{5}$
$\circ   \frac{4}{5}$
$\circ   20$

Ejercicio 16:

Si $D(x) = \sqrt{2500 - x^2}$ es la demanda, y el precio de mercado es $\mathrm{\$}$ $40$, el excente del consumidor es igual a:

$\circ$   $\int_{0}^{30} \left( \sqrt{2500 - x^2} - 40 \right) \, dx$
$\circ$   $\int_{0}^{30} \left( 30 - \sqrt{2500 - x^2} \right) \, dx$
$\circ$   $\int_{0}^{30} \left( 40 - \sqrt{2500 - x^2} \right) \, dx$
$\circ$   $\int_{0}^{30} \left( \sqrt{2500 - x^2} - 30 \right) \, dx$

Ejercicio 17:

Si $2 < a < 3$, $S_1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{2^n}$ y $S_2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{3^n}$ entonces:

$\circ$   ambas series divergen
$\circ$   $S_1$ diverge y $S_2$ converge
$\circ$   ambas series convergen
$\circ$   $S_1$ converge y $S_2$ diverge

Ejercicio 18:

El área de la región encerrada por el gráfico de $f(x) = \sqrt{x}$, la recta $y = 4$ y el eje $y$ se obtiene calculando:

$\circ$   $\int_{0}^{16} \sqrt{x} \, dx$
$\circ$   $\int_{0}^{16} \left( 4 - \sqrt{x} \right) \, dx$
$\circ$   $\int_{0}^{4} \left( 16 - \sqrt{x} \right) \, dx$
$\circ$   $\int_{0}^{2} \left( \sqrt{x} - 4 \right) \, dx$


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